在湖州提起涉税诉讼，当事人可以选择以下法院：
基层人民法院：首先，当事人可以选择向湖州市基层人民法院提起涉税诉讼。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，基层人民法院负责审理第一审民事案件，包括涉税案件。
中级人民法院：如果基层人民法院审理的涉税案件涉及重大利益或者案情复杂，当事人也可以选择向湖州市中级人民法院提起诉讼。中级人民法院在审理这类案件时，会进行更为严格的审查。
专门人民法院：在特定情况下，涉税案件也可以向专门人民法院提起。例如，当事人可以向湖州市国家税务局或者地方税务局提起行政诉讼，要求对税务机关的具体行政行为进行司法审查。
以下是具体的选择依据：
- 案件性质：如果是涉及税务行政处罚的行政诉讼，当事人应当向湖州市中级人民法院提起。
- 案件金额：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，对于诉讼标的金额较大的案件，当事人可以选择向中级人民法院提起诉讼。
- 案件影响：如果案件涉及公共利益，或者对税务行政行为有重大影响，当事人也可以向中级人民法院提起诉讼。
在提起诉讼时，当事人应当注意以下几点：
- 时效性：根据《中华人民共和国税收征收管理法》的规定，纳税人、扣缴义务人、纳税担保人同税务机关在纳税上发生争议时，必须先依照税务机关的纳税决定缴纳或者解缴税款及滞纳金或者提供相应的担保，然后可以依法申请行政复议；对行政复议决定不服的，可以依法向人民法院起诉。
- 证据准备：在提起诉讼前，当事人应当收集、整理相关证据，以便在法庭上证明自己的主张。
- 法律援助：如果当事人需要，可以向法律援助机构申请法律援助。
总之，在湖州提起涉税诉讼，当事人可以根据案件的具体情况选择合适的法院。在诉讼过程中，当事人应当遵循法律规定，依法维护自己的合法权益。